¿Cómo se desarrolla el concepto de número?

El número se construye –nos dice Piaget (1967)- como consecuencia de la síntesis de las nociones de orden y de clase. Este logro no ocurre de manera automática. Por el contrario, es necesario que los maestros de inicial y primer grado de primaria realicen esfuerzos explícitos con el propósito de que los niños desarrollen este concepto.

Para comprender la naturaleza del concepto de número, resulta de mucha ayuda conocer la distinción plateada por Piaget entre conocimiento lógico-matemático y conocimiento físico. La principal diferencia entre estos tipos de conocimiento es su fuente de origen. Por un lado, el conocimiento físico encuentra su origen en la realidad externa. Por ejemplo, el color y el peso de una canica (“bolita”, en mi infancia) son propiedades físicas de la realidad exterior que pueden conocerse a través de la observación. Por otro lado, el conocimiento lógico- matemático encuentra su origen en la mente de las personas: en las elaboraciones personales que cada individuo construye. En este caso, si una canica fuese roja y otra azul, y un observador notase la diferencia, “pensar la diferencia” sería un ejemplo de conocimiento lógico-matemático, ya que las canicas son observables, pero la “diferencia” no lo es.

El conocimiento lógico-matemático implica una construcción personal que no se aprende por mera observación. Esto significa que, aunque a un número no lo podemos observar, sí lo podemos pensar como una relación entre objetos del mundo.

La noción de orden es un requisito fundamental para la construcción del concepto de número. Cuando un niño desarrolla esta noción, siente la necesidad lógica de situar los objetos en orden para asegurarse de que no salta ninguno o no vuelve a contar otro. Para ilustrar esto, podemos recurrir a un ejemplo propuesto por Kamii (1986). La imagen que acompaña este párrafo muestra dos tipos de conteo: (a) el conteo de un niño que aún no desarrolla la noción de orden y (b) el conteo de otro que ha desarrollado esta noción. Como podemos apreciar, (a) muestra cómo algunos objetos son repetidos en el conteo y cómo otros no son tomados en cuenta. Este ejemplo ayuda a comprender que sin noción de orden no se puede cuantificar correctamente.

orden

De otro lado, la noción de clase ayuda a los niños a pensar en grupos de objetos y ya no solo en objetos individuales. Para ilustrar esto, podemos recurrir a otro ejemplo propuesto por Kamii. Cuando un niño ha desarrollado la noción de orden pero no la de clase, luego de contar ocho objetos, concluirá que el primer elemento es el “uno”, el segundo elemento es el “dos” y, de esta manera, el octavo elemento es el “ocho” (imagen “c”). Por el contrario, un niño que ha logrado la noción de orden y de clase, sabe que el número “ocho” no representa a un objeto solo, sino a un conjunto de ocho elementos; igual el “siete”, representa un grupo de siete elementos y no solo al séptimo elemento de la ordenación (imagen “d”).

clase

Este texto muestra cuáles son los primeros pasos en el desarrollo del concepto de número: el inicio en la comprensión del número natural. En próximos post, discutiremos sobre el concepto de valor de posición y de decena, y los requisitos para lograr comprender el concepto de fracción. Hasta entonces, anímense y pídanle a un niño pequeño que cuente y observen cómo lo hace. Les aseguro que será fascinante.

Referencias

Kamii, C. (1986). El niño reinventa la aritmética. Madrid: Editorial Visor.

Piaget, J. (1967). Génesis del número en el niño. Segunda edición. Buenos Aires: Editorial Guadalupe.

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Anuncios

Kamii y la enseñanza de las matemáticas

Constance Kamii es una educadora que ha realizado grandes aportes a la enseñanza de las matemáticas. Desde un enfoque piagetano, plantea serias críticas a creencias y prácticas muy difundidas entre padres, estudiantes y maestros. Por ello, considero que su lectura es obligatoria no solo para las personas que se dedican a la educación matemática, sino para todo interesado en educación. Para empezar, estos dos artículos pueden ser de mucha utilidad:

Personalmente, la lectura de Kamii y otros piagetanos me ha ayudado mucho en mi formación. Espero que a ustedes, queridos lectores, también les sea de utilidad.

Guardar

Guardar

Aprender matemáticas a la japonesa (5)

cropped-10_acercamiento_a_la_pizarra.jpg

En ocasiones, la multiplicación es presentada en primaria como una manera fácil de representar una adición repetida. 4 x 5 sería una manera rápida de operar 5 + 5 + 5 + 5. Esta manera de entender la multiplicación, ampliamente difundida en contextos escolares, no contribuye al desarrollo del pensamiento multiplicativo en los niños (Clark & Kamii, 1996). Para desarrollar su pensamiento multiplicativo, los niños deben reorganizar sus conocimientos con el propósito de pensar en grupos de grupos. 4 x 5 sería una manera de representar 4 veces (un grupo de) 5.

Aunque sutil, esta diferencia tiene enormes consecuencias para la enseñanza de las matemáticas en primaria. En este contexto, La enseñanza de la multiplicación de Masami Isoda y Ralmundo Olfos es un libro altamente recomendable si se pretender encontrar ideas sobre cómo implementar esta nueva manera de entender la multiplicación. No solo ofrece un marco teórico interesante, sino también un conjunto de sesiones de clase, planteadas desde el enfoque de resolución de problemas, que nos pueden servir de referente para enriquecer nuestras prácticas.

Si les interesa, en este enlace pueden encontrar tres excelentes sesiones de clase sobre multiplicación (en video) planteadas por los mismos autores.

Referencia

Clark, F. B., & Kamii, C. (1996). Identification of Multiplicative Thinking in Children in Grades 1-5. Journal for Research in Mathematics Education, (1). 41.

El niño reinventa la aritmética

Ahora estoy revisando este libro de Constance Kamii que lleva el mismo nombre que este post, el libro que ella dedica al primer grado de primaria. En él, Kamii comparte su punto de vista sobre el desarrollo del pensamiento infanti con énfasis en la construcción del número. Los niños que no tienen confianza en su propia capacidad para pensar no desarrollarán esta capacidad, nos dice. De ahí que su propuesta pedagógica para este grado y los siguientes se encuentre basada en la confianza de que los niños pueden -y deben- reinventar la arimética. Hace un momento,  leyendo el libro, me topé con un fragmento que -de todas maneras- quiero compartir, página 45.

El clima social y la situación que crea el maestro son cruciales para el desarrollo del conocimiento lógico-matemático. Dado que este es construido por el niño mediante abstracción reflexionante, es importante que el entorno fomente este tipo de abstracción. Piaget sostenía que cualquier niño con inteligencia normal es capaz de aprender aritmética. La aritmética es algo que los niños pueden reinventar y no algo que debe ser transmitido. Si los niños pueden pensar, no pueden dejar de construir el número, la adición y la sustracción. Si las matemáticas son tán difíciles para muchos niños, normalmente es porque se les impone demasiado pronto y sin  una conciencia adecuada de cómo piensan y aprenden.

Por eso la importancia de ambientes estimulantes, ricos en situaciones problemáticas y que toman muy en cuenta la forma cómo los niños piensan y aprenden. Porque  -ojo- ya Kamii nos alerta sobre qué ocurre de lo contrario.

Un procedimiento no-convencional para la sustracción y la formación de la ciudadanía

Hoy sucedió algo maravilloso que hasta ahora me ha dejado sorprendido. Tiene mucha relación con lo que escribí en un post anterior; y también con la lectura que hasta el momento hago de Constance Kamii. En una entrada anterior había enlazado un video en el que se muestra una clase sin algoritmos convencionales. Hoy, básicamente, hice lo mismo, pero en una clase de cuarto de primaria. Trabamos en ello, un promedio de treinta minutos. Le pedí a la clase que guardará todo: esta actividad está orientada a la independización del lápiz y el papel y, sobre todo, al desarrollo de la autonomía intelectual. [Si piensas que las Matemáticas no tienen nada que ver con el desarrollo de la ciudadanía, te equivocas]. La dinámica era la siguiente: yo colocaba una adición o sustracción de números dos cifras y les pedía a los niños que operen mentalmente utilizando los métodos que eligieran. Para amenizar la situación les dije: “¡sorpréndame con sus invenciones!”.

Y vaya que me sorprendieron, pero en especial Jaime. Era la última consigna:

96 – 28.

El procedimiento que utilizó fue el siguiente. Empezó por las unidades: 6 -8= -2 (yo solo complementé con la etiqueta “dos negativo”). Luego dijo: 90 – 2= 88; y como el 20 aún falta –dijo-, entonces 88- 20= 68. Él concluyó satisfecho.

¿Se dan cuenta de la magnitud de su invención? Ya había leído de Kamii que niños de segundo de primaria, en el colegio donde trabajaba, podían operar con números negativos, pero el verlo realmente me impactó. Es más, una profesora que estaba presente me confesó, luego, que no llegó a comprender por completo el procedimiento de Jaime. Naturalmente que la secuencia tradicional concibe esperar hasta sexto de primaria (o primero de secundaria) para trabajar con números negativos… pero, ¿por qué esperar tanto? Doy fe que Jaime pudo y cuatro chicos también (quizá algunos más).

Si se invita a los niños a que inventen sus propios procedimientos, obviamente que fomentamos su autonomía intelectual porque son “sus” métodos y no secuencias pre-fabricadas (que no son suyas, sino del profesor) que quizá vayan en contra de su pensamiento numérico. Niños a los que se enseña solo con algoritmos convencionales (como la sustracción de doble columna) podrían desarrollar un pobre sentido numérico, y no solo eso, sino también podrían tener dificultades en futuros aprendizajes. A mí me pasó esto cuando era pequeño. Cuando me cambié de colegio ya trabajaban con números negativos y para mí fue un tema que apareció de la nada. La primaria no me preparó para ello, sino todo lo contario: “Niños, ahora solo trabajamos con números naturales”. Quizá si me hubiesen enseñado de otra manera no hubiese obtenido 08 en mi primer examen de Aritmética en el nuevo colegio.

Estoy convencido de que las intuiciones de Kamii se encuentran vigentes. Necesitamos ciudadanos críticos y que no se contenten con repetir lo que piensen los otros. Pero esto requiere un continuo, no se le puede exigir a alguien que sea crítico si no se le prepara para ello. Ya he señalado que los algoritmos convencionales, que fomenta la escuela tradicional, no contribuyen al desarrollo del sentido numérico, y con ello, tampoco contribuyen al desarrollo de la autonomía intelectual. Pensemos en lo que hizo Jaime.

Nota: Jaime no se llama Jaime. Solo he mantenido el género y la inicial de su nombre.

Mariposita y el valor de la educación inicial

k

Hace casi un mes, Irene Koremblit de Levinton -a quien conocí por medio del blog– me envió un libro suyo titulado Un jardín de infantes llamado Mariposita. Un libro en el que narra muchísimas experiencias que sucedieron en los diez años que funcionó el nido Mariposita (Argentina). Lo particular de este nido es que pretendió, desde sus inicios, basarse en la psicología piagetana y el currículo de Constance Kamii y Retha De Vries. Meritorio.

Para los interesados, les cuento un poco sobre la estructura del libro. Al inicio, Irene desarrolla algunos conceptos clave de la epistemología genética, señalando sus consecuencias para la pedagogía. Luego, describe el currículo desarrollado por Constance Kamii y Retha De Vries. Y termina relatando –de manera reflexiva- algunos ejemplos de la implementación diaria del programa. No presenta una actividad de manera aislada (a manera de recetario), en todo momento señala su pertinencia con el marco teórico.

 ¿Y qué consecuencia de la teoría de Piaget presenta Irene en su marco teórico? A mi parecer, una de las más importantes: que la creatividad es algo inherente en el crecimiento cognitivo. Pues, es así cómo se construye el conocimiento, cuando el individuo –ya sea niño o adulto- establece nuevas conexiones entre lo que ya sabe y/o lo nuevo que conoce. Es esto lo que tiene en mente Irene Koremblit cuando relata las experiencias del día a día en Mariposita. Muy en la línea de la propuesta de Constance Kamii. Sobre las actividades del día a día no comentaré mucho. Son variadas y van desde las votaciones hasta las actividades culinarias. Entre estas actividades, otro elemento importante en el programa de Constance Kamii y que Irene recoge es el juego colectivo. Leamos la forma cómo describe el juego (fútbol) de niños de 4 o 5 años.

Se constituyen equipos diferenciados. Jugando, todos pueden ser del mismo equipo, El juego no tiene carácter competitivo. Todos tratan de hacer goles, nadie se siente perdedor. Los roles son inestables. No existe limitación temporal. Si surgen problemas, acuden a la docente. Al finalizar, todos declaran haber ganado. Generalmente no cuantifican los resultados; si es mayor de 4 o 5 no lo contabilizan.

¿Y de qué puede servir que los niños jueguen grupalmente en las aulas de inicial? Leamos lo que escribe Irene.

Durante el transcurso del juego se fue desarrollando el aprendizaje de aspectos lógico-matemáticos, espacial y temporal, que se concretaron en nociones numéricas como contar y temporales como antes y después. También desarrollaron relaciones socio-emocionales que permitieron la elaboración de reglas, reflexionaron sobre el comportamiento del juego, etc. y utilizaron recursos simbólicos (verbales y gráficos).

Dos citas para ilustrar que el juego colectivo es muy importante para el desarrollo moral y cognitivo de los niños. Y todo esto por señalar un ejemplo del programa de inicial de Constance Kamii. Se procura que los niños tomen decisiones y sean agentes activos en todo momento.

Quiero terminar este comentario felicitando a Irene Koremblit. Por compartir sus experiencias y reflexiones basadas en una teoría muchas veces incomprendida. Pero que bien entendida puede ser muy beneficiosa para los niños y puede sacar a relucir el valor de la educación inicial.

¿Cómo se construye en el pensamiento lógico-matemático?

En las últimas semanas he notado un creciente interés por la obra de Constance Kamii, de quien ya he se hablado mucho en este blog. He recibido mails y comentarios al respecto muy buenos, que aún no me he dado el tiempo de contestar. A mi parecer, uno de sus méritos consiste en haber elaborado un marco teórico sumamente explicativo acerca del desarrollo del pensamiento infantil. Además de ello, el ofrecer una propuesta de enseñanza acorde con este marco teórico.

Hoy quiero compartir el video de una conferencia dictada por ella en el Congreso Internacional de la Asociación Mundial de Educadores Infantiles celebrado en Madrid, el año pasado, con la ponencia titulada La construcción del conocimiento lógico-matemático en niños y niñas. A manera también de aclarar algunos de los comentarios que escribí en la entrada anterior. La conferencia tiene como público objetivo docentes de educación inicial. A pesar de ello recomiendo verla y escucharla con atención, pues son muchas las consecuencias de su marco teórico cuyo alcance trasciende la educacion inicial.